MỞ ĐẦU

Qua truyền thông báo chí, qua thư từ, qua  Internet được biết nhiều Giáo Sư, độc giả và các bạn trẻ trong nước và hải ngoại, có quan tâm về TOÁN HỌC, muốn biết cách chứng minh Định lý sau cùng của Fermat, còn gọi là Định lý lớn (The Great Theorem), như thế nào ?

Mặc dù năm 1995 GS Andrew Wiles đã giải rồi và “Vào mùa hè 1995, đã có một hội nghị lớn tổ chức tại Boston University để đi sâu vào chi tiết của bài chứng minh. Các chuyên gia trong mỗi lãnh vực liên quan đã có bài phát biểu giải thích nền tảng và nội dungcông trình của Wiles và Taylor. Sau khi khảo sát bài chứng minh quá kỹ lưỡng đến như vậy, cộng đồng toán học cảm thấy thoải mái khi công nhận rằng nó đúng”

Hội nghị đã đóng lại bài toán khó nhất, từng làm các Nhà Toán học điên đảo trên  360 năm, tuy vậy “FLT” vẫn còn là bài toán khó nhất, chưa có nhà Toán học nào tìm ra cách chứng minh, ngắn gọn từ 1 đến 2 trang, Nhiều nhà Toán học còn thách thức rằng, hiện nay có ai còn nghĩ đến việc, chứng minh định lý sau cùng của Fermat ngắn gọn trong một trang, (single page) thì người đó không được bình thường, nói theo kiểu Việt nam là bị chạm hay bị ấm đầu…

Trong các nhà sách lớn của các nước trên Thế giới, trong các thư viện Đại Học hay Quốc gia có hàng trăm đầu sách viết về Fermat’s Last Theorem (FLT) như các đầu sách sau:

Fermat’s Last Theorem (Paperback) by Simon Singh
Fermat’s Enigma: The Epic Quest to Solve the World’s Greatest
Mathematical Problem (Paperback) by SIMON SINGH, JOHN LYNCH
Fermat’s Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient
Mathematical Problem (Paperback) by Amir D. Aczel

Cho dù quý vị có đọc hết những quyển sách trên, hay đọc thêm hàng chục quyển sách khác, của các nhà Toán học nói về Fermat’s Last Theorem, quý vị và các bạn trẻ cũng không thể nào biết cách để chứng minh FLT. Vì phần lớn, sách được viết như một loại tiểu thuyết khoa học, toán học, chỉ dựa trên những yếu tố có liên quan đến Fermat như Shimura Taniyama Conjecture, Frey Conjecture … Sách được viết một cách chung chung, có nghĩa là:

*Khi chưa đọc sách FLT, quý vị chưa biết cách chứng minh FLT ra sao?
*Đọc sách xong quý vị cũng không biết chứng minh FLT như thế nào?…

 Đây là nhận xét của cá nhân tôi, nếu không đúng xin được sự chỉ giáo của quý vị.

Định lý Fermat nguyên thủy

“The full text of Fermat’s statement, written in Latin, reads “Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.

Hanc marginis exiguitas non caperet” (Nagell 1951, p. 252) In translation, “It is impossible for a cube to be the sum of two cubes, a fourth power to be the sum of two fourth powers, or in general for any number that is a power greater than the second to be the sum of two like powers. I have discovered a truly marvelous demonstration of this proposition that this margin is too narrow to contain.”

Phát biểu đơn giản như sau

“Fermat’s Last Theorem states that    

                        xⁿ + yⁿ = zⁿ

Have no solution for non-zero integers x, y, and z if n is an integer great than 2 (n > 2)”

Pierre de Fermat (sinh 1601 – mất 1665) nhà Toán học Pháp dựa trên định lý của Pythagoras x² + y² = z²   phát biểu rằng:

Không có giá trị x, y, z là số nguyên khác không, có thể thỏa mãn phương trình “xⁿ+yⁿ=zⁿ”, với n > 2.

Ông nói rằng ông đã có một cách chứng minh đơn giản định lý này, nhưng lề quyển sách quá hẹp nên không đủ viết chứng minh,

TÌM HIỂU CỘI NGUỒN FLT

Từ 1900 đến 1600 năm trước Công nguyên, người Babylon đã biết về bộ ba của Pythagoras (3, 4, 5);

(5, 12, 13); (8, 15, 17)….nghiệm đúng phương trình a² + b² = c²    , có lẽ  (3, 4, 5) là triple Pytagoras nguyên thủy.

Các nhà khảo cổ đã tìm thấy những bản bằng đất viết bằng chữ Babylon cổ đại, hiện được biết qua danh mục Plimpton 332 lưu giữ ở trường Đại học Columbia

 Còn bên Anh quốc thì ta đọc được

“An old Babylonian tablet (1900 – 1600 BC), shown on the right, contains the so-called Pythagorean Theorem, except that it  predates Pythagoras by a millennium or more. A translation of another Babylonian tablet preserved in the British

museum states (John Heise): 4 is the length and 5 the diagonal. What is the breadth? Its size is not known. 4 times 4 is 16. 5 times 5 is 25. You take 16 from 25 and there remains 9. What times what shall I take in order to get 9? 3 times 3 is 9. 3 is the breadth.”

Định lý Pythago và Định lý sau cùng của Fermat đã có cội nguồn từ nhiều ngàn năm trước, Nhưng mãi đến Thế kỷ thứ V trước Công nguyên Nhà Toán học Pythagoras mới có chứng minh định lý :

“trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương 2 cạnh góc vuông”  

Và đến thế kỷ XVII Pierre de Fermat mới có đinh lý sau cùng Không có giá trị x, y, z là số nguyên khác không, có thể thỏa mãn phương trình

“xⁿ+yⁿ=zⁿ”, với n > 2

TÌM HIỂU FLT CŨA TUỔI TRẺ VIỆT NAM

Gần đây các bạn trẻ trong nước có liên lạc với tôi qua email,

Do đó tôi xin trình bày một cách rất bình dân về đinh lý sau cùng của Fermat để quý vị và các bạn trẻ có quan tâm đến các VẤN ĐỀ TOÁN HỌC cùng đóng góp ‎ý kiến.

Các nhà TOÁN HỌC thuộc giới thượng lưu, họ suy nghĩ quá cao xa, đôi khi đi lạc hướng, lạc hướng ở đây tỷ dụ nó thuộc về Số học thì tưởng là Hình hoc, hay ngược lai. Còn chúng ta thuộc giới trung lưu, và bình dân thì không bắt kip suy nghĩ quá cao xa của giới thượng lưu Toán học, nên thường có mặc cảm cách biệt, hay tự ti mặc cảm…

Trước hết chúng ta phải tìm hiểu phần chứng minh của các nhà Toán học trong quá khứ “Ôn cố Tri tân” những năm gần đây, cho ta thấy các nhà Toán học chỉ chứng minh vòng vòng bên ngoài, rồi kết luận FLT đúng, chứ không thể chứng minh trực tiếp vào FLT như sơ đồ dưới đây

Đã có vô số nhà Toán học chuyên và không chuyên, trên 360 năm cố công tìm chứng minh của Fermat, hoặc chứng minh cách khác, nhưng không ai thành công trong hai lãnh vực nầy, cuối cùng họ nghi ngờ Fermat không có  chứng minh, hoặc có mà chứng minh nhưng sai nên hủy bỏ luôn (?).

Phương trình  “xⁿ+yⁿ=zⁿ”,  với n =1, n= 2 cho ta vô số nghiệm, nên ta không dùng cách chứng minh quy nạp, để chứng minh những gía trị n > 2, các nhà Toán học phải chứng minh từng thời điểm một của n như  n = 3, n = 4, n = 5, n = 6,… n  đến vô cực, mặc khác các giá tri x, y, z cũng tiến đến vô cực, biết đâu ở miền vô cực có nghiệm, thông thường 3 ẩn số x, y, z, ta phải có 3 phương trình mới giải được, ở đây 3 ẩn số x, y, z trong 1 phương trình bậc n (n → ∞) nên vô cùng khó khăn

Các nhà Toán học đã chứng minh Định lý sau cùng cùng của Fermat

Chúng ta đơn cử một số nhà Toán học như

Leonhard Euler (1707- 1803) Mãi đến thế kỷ XVIII Nhà Toán học Thụy sĩ L. Euler bỏ ra nhiều công sức mới giải được  n = 3

Với phương trình “x³ + y³ = z³” vô nghiệm, rất khó chứng minh vì 3 ẩn số trong một Phương trình, x, y, z, tiến đến vô cực, biết đâu ở MIỀN vô cực x, y, z, có nghiệm?     

Sophie Germain (1776-1831) là nữ Toán học người Pháp, bà sinh trưởng trong một gia đình buôn bán giàu có ở Paris, cha là giám đốc ngân hang “Bank of France”. Đến năm 18 tuổi bà ghi danh vào trường chuyên Khoa toán mathematicians and scientists. Nhưng trường không nhận Nữ sinh, sau dó bà nhập học với tên Nam là M. LeBlanc, Sophie Germain chia Định lý sau cùng của Fermat ra 2 trường hợp,

Trường hợp 1: không có x, y, z được chia đúng bởi n.

                         GCD(x,y,z)  ≠   n
Trường hợp 2: một và chỉ một  x, y, z được chia đúng bởi n”

Bà giải được n = 5 với phương trình “x⁵ + y⁵ = z⁵” vô nghiệm

Năm 1832 Dirichlet dựa trên thuyết 2 trường hợp, của nhà toán học Sophie Germain để   chứng minh n = 5 với Phương trình “x⁵ + y⁵ = z⁵” và n = 7  “x⁷ + y⁷ = z⁷” vô nghiệm.

Goro Shimura, Yutaka Taniyama (1927-1958) và Frey (1984)Đã đưa ra giả thuyết về elliptic curve và modular form có liên quan đến Diophantine Equations và Fermat’s last theorem 

1985 Kenneth Ribet đã chứng minh dự đoán Frey

Cho tới gần đây (1993), với kỹ nghệ Điện toán phát triển mạnh, nhờ đó nhà Toán học đã chứng minh được có giá trị đến 4,000,000 là vô nghiệm, nhưng biết đâu 4,000,001 (bốn triệu lẽ một có nghiệm) có nghiệm, cho dù với máy điện toán có tìm ra n lớn đến 4,000,000,000 (4 tỷ) vô nghiệm, cũng không thể kết luận FLT đúng, biết đâu 4,000,000,001(4tỷ lẻ 1) có nghiệm

Năm 1993 Giáo sư Andrew Wiles nhà toán học người Anh, ông cũng là Chủ tịch khoa Toán của Đại học Princeton University Hoa kỳ, đã khám phá ra cách chứng minh, trong khi nghiên cứu về một bài toán hình học tổng quát hơn

Ông đã biết định lý sau cùng của Fermat ở lứa tuổi 10s, khi ông vào thư viện ở làng quê ông bên Anh quốc. Nhưng sau đó không lâu Nhà toán học Nich Katz đã tìm thấy chổ sai trong chứng minh của Giáo sư Andrew Wiles

Năm 1994 Richard Taylor giúp GS Andrew Wiles mới hoàn tất chứng minh  “conjectured by the Japanese mathematician Goro Shimura based on some ideas that Yutaka Taniyama posed, hypothetical elliptic curve, called the Frey curve” và từ đó GS Andrew Wiles kết luận Định lý sau cùng của Fermat ĐÚNG

Các nhà Toán học nhận xét thế nào về chứng minh của Andrew Wiles?

Helen G. Grundman, giáo sư toán tại Byrn Mawr College, Glenn H. Stevens ở khoa toán tại Boston University cho biết:

“Vâng, các nhà toán học bằng lòng rằng FLT đã được chứng minh, Cách chứng minh của Andrew Wiles theo ‘semistable modularity conjecture’ – phần mấu chốt của cách chứng minh của ông – đã được kiểm tra cẩn thận và thậm chí đơn giản hóa. Trước khi có chứng minh của Wiles, người ta đã biết FLT sẽ là một hệ quả của modularity conjecture, kết hợp nó với một định lý lớn khác theo Ken Ribet và dùng các ý tưởng mấu chốt từ Gerhard Frey và Jean-Pierre Serre …”

Hiện nay các nhà Toán học trên Thế giới điều công nhận chứng minh của Andrew Wiles đúng và quá hay, có lúc họ đã lấy tên Giáo sư Wiles để đặt cho định lý sau cùng của Fermat là Fermat-Wiles Theorem. Nhờ chứng minh nổi tiếng nầy, ông đã nhận được nhiều phần thưởng bằng hiện kim và medal rất giá trị của Quốc tế: “Wiles has received are the Wolf Prize and the MacArthur Fellowship”, silver plaque, the gold Fields Medal…

Tháng 1, 1998 ông đã nhận được phần thưởng 200,000 USD của Vua Faisal Bin Abdelaziz  Saudi Arabia

“Following the proof of the Fermat problem, Wiles won the Wolf Prize (1995–96).

British mathematician who proved Fermat’s last theorem; in recognition he was awarded a special silver plaque—he was beyond the traditional age limit of 40 years for receiving the gold Fields Medal — by the International Mathematical Union in 1998.”

Trở lại vấn đề FLT, tôi mới giới thiệu sơ qua các nhà Toán hoc, nhất là thành quả về chứng minh của giáo sư Andrew Wiles, xin mời quý vị và các bạn trẻ vào đia chỉ sau đây

 http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf

Để biết về chứng minh của Giáo sư Andrew Wiles khó đến đâu, đúng sai như thế nào ? … Hỏi tức là có vấn đề rồi, chưa đúng (?) hay nói khác đi là GS Andrew Wiles chưa chứng minh được FLT. Nói như vậy có quá đáng không? Vì các nhà Toán học đã công nhận ĐÚNG trong Hội nghị toán học 1995 rồi, sau Hội nghị có ai nói đến GS A.Wiles sai, là nói tới các Nhà Toán học đồng thuận với kết qủa Hôi nghị cũng sai luôn, chứ không phải một mình GS Andrew Wiles, dĩ nhiên là có những nhà Toán học không đồng thuận, nhưng không có phương pháp nào để phản bác lại, …. Rân được định cư tại hoa kỳ năm 1990 theo diện HO, đã phản bác quyết định của Hội nghị toán học 1995 rằng “….them wrong”

Thành thật cảm ơn quý vị và các bạn trẻ

 
Võ Văn Rân

(Tham khảo qua Internet mathsoft, sci.math, mathworld, drmath…)